Índice:
- Universo plano
- Nosso universo poderia ser uma das formas planas?
- Forma esférica
- E se nosso universo for esférico?
- Geometria hiperbólica
- Bem, nosso Universo é hiperbólico?
Vídeo: Forma plana, esférica ou hiperbólica de nosso Universo?
2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Última modificação: 2023-12-16 16:14
Em nossa opinião, o universo é infinito. Hoje sabemos que a Terra tem a forma de uma esfera, mas raramente pensamos na forma do Universo. Na geometria, existem muitas formas tridimensionais como alternativa ao espaço infinito "familiar". Os autores explicam a diferença da forma mais acessível.
Olhando para o céu noturno, parece que o espaço continua indefinidamente em todas as direções. É assim que imaginamos o Universo - mas não o fato de que seja verdade. Afinal, houve um tempo em que todos pensavam que a Terra era plana: a curvatura da superfície terrestre é imperceptível e a ideia de que a Terra é redonda parecia incompreensível.
Hoje sabemos que a Terra tem a forma de uma esfera. Mas raramente pensamos sobre a forma do universo. À medida que a esfera substituiu a Terra plana, outras formas tridimensionais oferecem alternativas ao espaço infinito "familiar".
Duas perguntas podem ser feitas sobre a forma do universo - separadas, mas inter-relacionadas. Um é sobre geometria - cálculos meticulosos de ângulos e áreas. Outra é sobre topologia: como partes separadas se fundem em uma única forma.
Os dados cosmológicos sugerem que a parte visível do Universo é lisa e homogênea. A estrutura local do espaço parece quase a mesma em todos os pontos e em todas as direções. Apenas três formas geométricas correspondem a essas características - plana, esférica e hiperbólica. Vamos dar uma olhada nessas formas, algumas considerações topológicas e conclusões baseadas em dados cosmológicos.
Universo plano
Na verdade, isso é geometria escolar. Os ângulos de um triângulo somam 180 graus e a área de um círculo é πr2. O exemplo mais simples de uma forma tridimensional plana é um espaço infinito comum, os matemáticos o chamam de euclidiano, mas existem outras opções planas.
Não é fácil imaginar essas formas, mas podemos conectar nossa intuição pensando em duas dimensões em vez de três. Além do plano euclidiano usual, podemos criar outras formas planas recortando um pedaço do plano e colando suas bordas. Digamos que cortemos um pedaço retangular de papel e colemos as bordas opostas dele com fita adesiva. Se você colar a borda superior à inferior, obterá um cilindro.
Você também pode colar a borda direita à esquerda - então obtemos um donut (os matemáticos chamam essa forma de toro).
Você provavelmente objetará: "Algo não é muito plano." E você vai estar certo. Estávamos enganando um pouco sobre o toro plano. Se você realmente tentar fazer um toro com um pedaço de papel dessa maneira, terá algumas dificuldades. É fácil fazer um cilindro, mas não funcionará para colar suas extremidades: o papel se enrugará ao longo do círculo interno do toro, mas não será suficiente para o círculo externo. Então você tem que pegar algum tipo de material elástico. Mas o alongamento muda o comprimento e os ângulos e, portanto, toda a geometria.
É impossível construir um toro físico liso real a partir de um material plano dentro de um espaço tridimensional comum sem distorcer a geometria. Resta especular abstratamente sobre como é viver dentro de um toro plano.
Imagine que você é um ser bidimensional cujo universo é um toro plano. Como a forma deste universo é baseada em uma folha de papel plana, todos os fatos geométricos que estamos acostumados permanecem os mesmos - pelo menos em uma escala limitada: os ângulos de um triângulo somam 180 graus e assim por diante. Mas com a mudança na topologia global por meio de aparamento e colagem, a vida mudará dramaticamente.
Para começar, o toro tem linhas retas que se enrolam e retornam ao ponto inicial.
Em um toro distorcido, eles parecem curvos, mas para os habitantes de um toro plano, eles parecem retos. E como a luz viaja em linha reta, se você olhar diretamente em qualquer direção, verá a si mesmo por trás.
É como se, no pedaço de papel original, a luz passasse por você, fosse para a margem esquerda e reaparecesse na direita, como em um videogame.
Esta é outra maneira de pensar sobre isso: você (ou um raio de luz) cruza uma das quatro bordas e se encontra em uma nova sala, mas na verdade é a mesma sala, apenas de um ponto de vista diferente. Vagando por tal universo, você encontrará um número infinito de cópias da sala original.
Isso significa que você levará um número infinito de cópias de si mesmo para onde quer que olhe. É uma espécie de efeito de espelho, só que essas cópias não são exatamente reflexos.
No toro, cada um deles corresponde a um ou outro loop, ao longo do qual a luz retorna para você.
Da mesma forma, obtemos um toro tridimensional plano colando as faces opostas de um cubo ou outra caixa. Não seremos capazes de representar este espaço dentro de um espaço infinito comum - ele simplesmente não caberá - mas seremos capazes de especular abstratamente sobre a vida dentro dele.
Se a vida em um toro bidimensional é como um arranjo bidimensional infinito de quartos retangulares idênticos, então a vida em um toro tridimensional é como um arranjo tridimensional infinito de quartos cúbicos idênticos. Você também verá um número infinito de cópias suas.
O toro tridimensional é apenas uma das dez variantes do mundo plano finito. Existem também mundos planos infinitos - por exemplo, um análogo tridimensional de um cilindro infinito. Cada um desses mundos terá sua própria "sala de risos" com "reflexos".
Nosso universo poderia ser uma das formas planas?
Quando olhamos para o espaço, não vemos um número infinito de nossas próprias cópias. Independentemente disso, eliminar formas planas não é fácil. Em primeiro lugar, todos eles têm a mesma geometria local do espaço euclidiano, por isso não será possível distingui-los com medidas locais.
Digamos que você tenha visto sua própria cópia, esta imagem distante apenas mostra como você (ou sua galáxia como um todo) parecia no passado distante, já que a luz percorreu um longo caminho até chegar até você. Talvez até vejamos nossas próprias cópias - mas mudaram além do reconhecimento. Além disso, cópias diferentes estão a distâncias diferentes de você, portanto, não são iguais. E, além disso, tão longe que ainda não veremos nada.
Para contornar essas dificuldades, os astrônomos geralmente procuram não por cópias de si mesmos, mas por características repetidas no fenômeno visível mais distante - a radiação cósmica de fundo em micro-ondas, que é uma relíquia do Big Bang. Na prática, isso significa procurar pares de círculos com padrões correspondentes de pontos quentes e frios - presume-se que eles sejam iguais, apenas em lados diferentes.
Os astrônomos realizaram essa pesquisa em 2015, graças ao Telescópio Espacial Planck. Eles juntaram dados sobre os tipos de círculos coincidentes que esperamos ver dentro de um toro 3D plano ou outra forma 3D plana - uma chamada placa - mas não encontraram nada. Isso significa que, se vivemos em um toro, ele parece ser tão grande que quaisquer fragmentos repetidos ficam fora do universo observável.
Forma esférica
Estamos muito familiarizados com as esferas bidimensionais - esta é a superfície de uma bola, uma laranja ou a Terra. Mas e se nosso universo for uma esfera tridimensional?
Desenhar uma esfera tridimensional é difícil, mas é fácil descrevê-lo com uma analogia simples. Se uma esfera bidimensional é uma coleção de todos os pontos a uma distância fixa de algum ponto central no espaço tridimensional comum, uma esfera tridimensional (ou "trisfério") é uma coleção de todos os pontos a uma distância fixa de alguns ponto central no espaço quadridimensional.
A vida dentro de uma trisfério é muito diferente da vida no espaço plano. Para visualizá-lo, imagine que você é um ser bidimensional em uma esfera bidimensional. A esfera bidimensional é todo o Universo, portanto, você não pode ver o espaço tridimensional ao seu redor e não pode entrar nele. Neste universo esférico, a luz viaja pelo caminho mais curto: em grandes círculos. Mas esses círculos parecem diretos para você.
Agora imagine que você e seu amigo 2D estão passando um tempo no Pólo Norte e ele foi dar uma volta. Afastando-se, a princípio ele diminuirá gradualmente em seu círculo visual - como no mundo comum, embora não tão rapidamente como estamos acostumados. Isso ocorre porque, à medida que seu círculo visual cresce, seu amigo o ocupa cada vez menos.
Mas assim que seu amigo cruza o equador, algo estranho acontece: ele começa a aumentar de tamanho, embora na verdade continue a se afastar. Isso ocorre porque a porcentagem que eles ocupam em seu círculo visual está aumentando.
A três metros do Pólo Sul, seu amigo parecerá estar a três metros de você.
Tendo alcançado o Pólo Sul, ele preencherá completamente todo o seu horizonte visível.
E quando não há ninguém no Pólo Sul, seu horizonte visual será ainda mais estranho - é você. Isso ocorre porque a luz que você emite se espalha por toda a esfera até voltar.
Isso afeta diretamente a vida no reino 3D. Cada ponto da trisfério tem um oposto, e se houver um objeto lá, nós o veremos em todo o céu. Se não houver nada ali, nos veremos em segundo plano - como se nossa aparência fosse sobreposta a um balão, depois virada do avesso e inflado por todo o horizonte.
Mas, embora a trisfera seja o modelo fundamental para a geometria esférica, está longe de ser o único espaço possível. Como construímos diferentes modelos planos cortando e colando peças do espaço euclidiano, podemos construir modelos esféricos colando peças adequadas de trisfério. Cada uma dessas formas coladas terá, como o toro, o efeito de uma "sala do riso", apenas o número de salas em formas esféricas será finito.
E se nosso universo for esférico?
Mesmo o mais narcisista de nós não se vê como pano de fundo, em vez do céu noturno. Mas, como no caso de um toro plano, o fato de não vermos algo não significa de forma alguma que ele não exista. Os limites de um universo esférico podem ser maiores do que os limites do mundo visível e o fundo simplesmente não é visível.
Mas, ao contrário de um toro, um universo esférico pode ser detectado usando medições locais. As formas esféricas diferem do espaço euclidiano infinito não apenas na topologia global, mas também na geometria pequena. Por exemplo, uma vez que as linhas retas na geometria esférica são grandes círculos, os triângulos ali são "mais rechonchudos" do que os euclidianos, e a soma de seus ângulos excede 180 graus.
Basicamente, medir triângulos cósmicos é a principal forma de verificar a curvatura do universo. Para cada ponto quente ou frio na radiação cósmica de fundo, seu diâmetro e distância da Terra, formando os três lados do triângulo, são conhecidos. Podemos medir o ângulo formado pelo ponto no céu noturno - e este será um dos vértices do triângulo. Podemos então verificar se a combinação dos comprimentos dos lados e a soma dos ângulos correspondem à geometria plana, esférica ou hiperbólica (onde a soma dos ângulos do triângulo é menor que 180 graus).
A maioria desses cálculos, junto com outras medidas de curvatura, presume que o universo seja completamente plano ou muito próximo a ele. Uma equipe de pesquisa sugeriu recentemente que alguns dos dados de 2018 do Telescópio Espacial Planck falam mais a favor de um universo esférico, embora outros pesquisadores tenham argumentado que as evidências apresentadas podem ser atribuídas a erros estatísticos.
Geometria hiperbólica
Ao contrário de uma esfera, que se fecha sobre si mesma, a geometria hiperbólica ou espaço com curvatura negativa se abre para fora. Esta é a geometria do chapéu de aba larga, recife de coral e sela. O modelo básico da geometria hiperbólica é o espaço infinito, assim como o euclidiano plano. Mas, uma vez que uma forma hiperbólica se expande para fora muito mais rápido do que uma plana, não há como caber nem mesmo um plano hiperbólico bidimensional dentro do espaço euclidiano comum, se não quisermos distorcer sua geometria. Mas há uma imagem distorcida do plano hiperbólico conhecido como disco de Poincaré.
Do nosso ponto de vista, os triângulos próximos ao círculo de fronteira parecem ser muito menores do que aqueles próximos ao centro, mas do ponto de vista da geometria hiperbólica, todos os triângulos são iguais. Se tentássemos retratar esses triângulos realmente do mesmo tamanho - talvez usando material elástico e inflando cada triângulo por vez, movendo-se do centro para fora - nosso disco se pareceria com um chapéu de aba larga e se dobraria mais e mais. E conforme você se aproxima da fronteira, essa curvatura fica fora de controle.
Na geometria euclidiana comum, a circunferência de um círculo é diretamente proporcional ao seu raio, mas na geometria hiperbólica, o círculo cresce exponencialmente em relação ao raio. Uma pilha de triângulos é formada perto do limite do disco hiperbólico
Por causa dessa característica, os matemáticos gostam de dizer que é fácil se perder no espaço hiperbólico. Se seu amigo se afastar de você no espaço euclidiano normal, ele começará a se afastar, mas lentamente, porque seu círculo visual não cresce tão rapidamente. No espaço hiperbólico, seu círculo visual se expande exponencialmente, de modo que seu amigo logo se reduzirá a uma partícula infinitamente pequena. Portanto, se você não seguiu seu caminho, é improvável que o encontre mais tarde.
Mesmo na geometria hiperbólica, a soma dos ângulos de um triângulo é inferior a 180 graus - por exemplo, a soma dos ângulos de alguns triângulos do mosaico do disco de Poincaré é de apenas 165 graus.
Seus lados parecem ser indiretos, mas isso é porque estamos olhando para a geometria hiperbólica por meio de lentes de distorção. Para um habitante do disco de Poincaré, essas curvas são, na verdade, linhas retas, então a maneira mais rápida de ir do ponto A ao ponto B (ambos na borda) é através de um corte no centro.
Há uma maneira natural de fazer um análogo tridimensional do disco de Poincaré - pegar uma bola tridimensional e preenchê-la com formas tridimensionais, que diminuem gradualmente à medida que se aproximam da esfera limite, como triângulos em um disco de Poincaré. E, como acontece com planos e esferas, podemos criar toda uma série de outros espaços hiperbólicos tridimensionais cortando pedaços adequados de uma bola hiperbólica tridimensional e colando suas faces.
Bem, nosso Universo é hiperbólico?
A geometria hiperbólica, com seus triângulos estreitos e círculos em crescimento exponencial, não é nada parecido com o espaço ao nosso redor. Na verdade, como já observamos, a maioria das medições cosmológicas se inclina para um universo plano.
Mas não podemos descartar que vivemos em um mundo esférico ou hiperbólico, porque pequenos fragmentos de ambos os mundos parecem quase planos. Por exemplo, a soma dos ângulos de pequenos triângulos na geometria esférica é apenas ligeiramente maior do que 180 graus e na geometria hiperbólica é apenas ligeiramente menor.
É por isso que os antigos pensavam que a Terra era plana - a curvatura da Terra não é visível a olho nu. Quanto maior a forma esférica ou hiperbólica, mais plana cada uma de suas partes, portanto, se nosso Universo tem uma forma esférica ou hiperbólica extremamente grande, sua parte visível é tão próxima do plano que sua curvatura só pode ser detectada com instrumentos ultraprecisos, e ainda não os inventamos. …
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