O que são fractais: a beleza da matemática e do infinito

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Última modificação: 2023-12-16 16:14

Os fractais são conhecidos há um século, foram bem estudados e têm inúmeras aplicações na vida. No entanto, esse fenômeno é baseado em uma ideia muito simples: uma infinidade de formas, infinitas em beleza e variedade, podem ser obtidas a partir de estruturas relativamente simples usando apenas duas operações - copiar e escalar.

O que uma árvore, uma praia, uma nuvem ou vasos sanguíneos em nossas mãos têm em comum? À primeira vista, pode parecer que todos esses objetos não têm nada em comum. No entanto, na verdade, há uma propriedade de estrutura inerente a todos os objetos listados: eles são semelhantes a si mesmos. Do galho, assim como do tronco da árvore, há galhos menores, a partir deles - até mesmo os menores, etc., ou seja, o galho é como a árvore inteira.

O sistema circulatório é organizado de maneira semelhante: as arteríolas partem das artérias e delas - os menores capilares pelos quais o oxigênio entra nos órgãos e tecidos. Vejamos as imagens de satélite da costa marítima: veremos baías e penínsulas; vamos dar uma olhada, mas do ponto de vista de um pássaro: veremos baías e cabos; Agora vamos imaginar que estamos parados na praia e olhando para os nossos pés: sempre há seixos que se projetam na água mais longe do que o resto.

Ou seja, o litoral permanece semelhante a si mesmo quando ampliado. O matemático americano (embora criado na França) Benoit Mandelbrot chamou essa propriedade dos objetos de fractalidade, e esses próprios objetos - fractais (do latim fractus - quebrados).

O que é um fractal?

Este conceito não tem definição estrita. Portanto, a palavra "fractal" não é um termo matemático. Normalmente, um fractal é uma figura geométrica que satisfaz uma ou mais das seguintes propriedades: • Tem uma estrutura complexa em qualquer ampliação (em oposição a, por exemplo, uma linha reta, qualquer parte da qual é a figura geométrica mais simples - um segmento de linha). • É (aproximadamente) semelhante a si mesmo. • Tem uma dimensão fracionária de Hausdorff (fractal), que é maior que a topológica. • Pode ser construído com procedimentos recursivos.

Geometria e Álgebra

O estudo dos fractais na virada dos séculos 19 e 20 era mais episódico do que sistemático, porque os primeiros matemáticos estudavam principalmente objetos "bons" que eram passíveis de pesquisa usando métodos e teorias gerais. Em 1872, o matemático alemão Karl Weierstrass construiu um exemplo de função contínua que não é diferenciável em lugar nenhum. No entanto, sua construção foi inteiramente abstrata e difícil de perceber.

Portanto, em 1904, o sueco Helge von Koch inventou uma curva contínua, que não tem tangente em parte alguma e é bastante simples de traçar. Acontece que ele tem as propriedades de um fractal. Uma das variantes dessa curva é chamada de "floco de neve de Koch".

As ideias de autossimilaridade de figuras foram retomadas pelo francês Paul Pierre Levy, futuro mentor de Benoit Mandelbrot. Em 1938, publicou o artigo "Curvas e superfícies planas e espaciais, constituídas por partes semelhantes ao todo", que descreve outro fractal - a curva C de Lévy. Todos esses fractais acima podem ser condicionalmente atribuídos a uma classe de fractais construtivos (geométricos).

Outra classe são os fractais dinâmicos (algébricos), que incluem o conjunto de Mandelbrot. Os primeiros estudos nessa direção começaram no início do século XX e estão associados aos nomes dos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou. Em 1918, foi publicado o livro de memórias de quase duzentas páginas de Julia, dedicado a iterações de funções racionais complexas, no qual os conjuntos de Julia foram descritos - uma família inteira de fractais intimamente relacionados ao conjunto de Mandelbrot. Esta obra recebeu o prémio da Academia Francesa, mas não continha uma única ilustração, pelo que foi impossível apreciar a beleza dos objectos descobertos.

Apesar de este trabalho glorificar Julia entre os matemáticos da época, foi rapidamente esquecido. Só meio século depois é que os computadores voltaram a chamar a atenção: foram eles que tornaram visível a riqueza e a beleza do mundo dos fractais.

Dimensões Fractais

Como você sabe, a dimensão (número de medidas) de uma figura geométrica é o número de coordenadas necessárias para determinar a posição de um ponto situado nesta figura.

Por exemplo, a posição de um ponto em uma curva é determinada por uma coordenada, em uma superfície (não necessariamente um plano) por duas coordenadas, no espaço tridimensional por três coordenadas.

De um ponto de vista matemático mais geral, você pode definir a dimensão desta forma: um aumento nas dimensões lineares, digamos, duas vezes, para objetos unidimensionais (do ponto de vista topológico) (segmento) leva a um aumento no tamanho (comprimento) duas vezes, para bidimensional (quadrado) o mesmo aumento nas dimensões lineares leva a um aumento no tamanho (área) em 4 vezes, para tridimensional (cubo) - em 8 vezes. Ou seja, a dimensão "real" (chamada de Hausdorff) pode ser calculada como a razão entre o logaritmo de um aumento no "tamanho" de um objeto e o logaritmo de um aumento em seu tamanho linear. Ou seja, para o segmento D = log (2) / log (2) = 1, para o plano D = log (4) / log (2) = 2, para o volume D = log (8) / log (2) = 3.

Calculemos agora a dimensão da curva de Koch, para a construção da qual o segmento unitário é dividido em três partes iguais e o intervalo do meio é substituído por um triângulo equilátero sem este segmento. Com um aumento nas dimensões lineares do segmento mínimo três vezes, o comprimento da curva de Koch aumenta em log (4) / log (3) ~ 1, 26. Ou seja, a dimensão da curva de Koch é fracionária!

Ciência e arte

Em 1982, foi publicado o livro de Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", no qual o autor coletou e sistematizou quase todas as informações disponíveis na época sobre os fractais e as apresentou de maneira fácil e acessível. Em sua apresentação, Mandelbrot deu ênfase principal não às fórmulas complicadas e construções matemáticas, mas à intuição geométrica dos leitores. Graças a ilustrações geradas por computador e contos históricos, com os quais o autor diluiu habilmente o componente científico da monografia, o livro tornou-se um best-seller e os fractais tornaram-se conhecidos do público em geral.

Seu sucesso entre os não matemáticos se deve em grande parte ao fato de que, com a ajuda de construções e fórmulas muito simples que um estudante do ensino médio pode entender, imagens de incrível complexidade e beleza são obtidas. Quando os computadores pessoais se tornaram poderosos o suficiente, até mesmo toda uma tendência na arte apareceu - pintura fractal, e quase qualquer proprietário de computador poderia fazer isso. Agora, na Internet, você pode encontrar facilmente diversos sites dedicados a esse assunto.

Guerra e Paz

Como observado acima, um dos objetos naturais com propriedades fractais é o litoral. Uma história interessante está ligada a ele, ou melhor, com uma tentativa de medir sua extensão, que serviu de base para o artigo científico de Mandelbrot, e também é descrita em seu livro "The Fractal Geometry of Nature".

Este é um experimento que foi encenado por Lewis Richardson, um matemático, físico e meteorologista muito talentoso e excêntrico. Uma das direções de sua pesquisa foi uma tentativa de encontrar uma descrição matemática das causas e da probabilidade de um conflito armado entre os dois países. Entre os parâmetros que ele levou em consideração estava o comprimento da fronteira comum dos dois países beligerantes. Quando recolheu dados para experiências numéricas, descobriu que em fontes diferentes os dados sobre a fronteira comum entre Espanha e Portugal são muito diferentes.

Isso o levou a descobrir o seguinte: o comprimento das fronteiras de um país depende do governante com o qual as medimos. Quanto menor for a escala, mais longa será a borda. Isso se deve ao fato de que com uma ampliação maior torna-se possível levar em conta cada vez mais curvas costeiras, que antes eram ignoradas devido à rugosidade das medições. E se, a cada aumento de escala, as curvas das linhas, anteriormente não explicadas, se abrirem, então acontece que o comprimento dos limites é infinito! É verdade que na realidade isso não acontece - a precisão de nossas medições tem um limite finito. Esse paradoxo é chamado de efeito Richardson.

Fractais construtivos (geométricos)

O algoritmo para construir um fractal construtivo no caso geral é o seguinte. Em primeiro lugar, precisamos de duas formas geométricas adequadas, vamos chamá-las de base e fragmento. No primeiro estágio, a base do fractal futuro é retratada. Em seguida, algumas de suas partes são substituídas por um fragmento obtido em uma escala adequada - esta é a primeira iteração da construção. Então, a figura resultante novamente transforma algumas partes em figuras semelhantes a um fragmento, e assim por diante. Se continuarmos este processo indefinidamente, então, no limite, obteremos um fractal.

Vamos considerar esse processo usando a curva de Koch como exemplo. Como base para a curva de Koch, você pode usar qualquer curva (para o "floco de neve de Koch" é um triângulo). Mas vamos nos restringir ao caso mais simples - um segmento. Um fragmento é uma linha tracejada mostrada no topo da figura. Após a primeira iteração do algoritmo, neste caso, o segmento inicial coincidirá com o fragmento, então cada um de seus segmentos constituintes será substituído por uma linha quebrada, semelhante a um fragmento, etc. A figura mostra as quatro primeiras etapas do Este processo.

Na linguagem da matemática: fractais dinâmicos (algébricos)

Fractais desse tipo surgem no estudo de sistemas dinâmicos não lineares (daí o nome). O comportamento de tal sistema pode ser descrito por uma função não linear complexa (polinomial) f (z). Pegue algum ponto de partida z0 no plano complexo (veja a barra lateral). Agora considere essa sequência infinita de números no plano complexo, cada um dos seguintes é obtido a partir do anterior: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn)

Dependendo do ponto inicial z0, tal sequência pode se comportar de maneira diferente: tende ao infinito quando n -> ∞; convergem para algum ponto final; tomar ciclicamente uma série de valores fixos; opções mais complexas também são possíveis.

Números complexos

Um número complexo é um número que consiste em duas partes - real e imaginário, ou seja, a soma formal x + iy (aqui xey são números reais). eu é o assim chamado. unidade imaginária, ou seja, um número que satisfaz a equação i ^ 2 = -1. As operações matemáticas básicas são definidas sobre números complexos - adição, multiplicação, divisão, subtração (apenas a operação de comparação não é definida). Para exibir números complexos, uma representação geométrica é freqüentemente usada - no plano (é chamada de complexa), a parte real é colocada na abcissa e a parte imaginária na ordenada, enquanto o número complexo corresponderá a um ponto com cartesiano coordenadas xe y.

Assim, qualquer ponto z do plano complexo tem seu próprio caráter de comportamento durante as iterações da função f (z), e todo o plano é dividido em partes. Nesse caso, os pontos situados nos limites dessas partes têm a seguinte propriedade: para um deslocamento arbitrariamente pequeno, a natureza de seu comportamento muda drasticamente (esses pontos são chamados de pontos de bifurcação). Então, acontece que conjuntos de pontos com um tipo específico de comportamento, bem como conjuntos de pontos de bifurcação, geralmente têm propriedades fractais. Esses são os conjuntos de Julia para a função f (z).

Família de dragões

Variando a base e o fragmento, você pode obter uma variedade incrível de fractais construtivos.

Além disso, operações semelhantes podem ser realizadas no espaço tridimensional. Exemplos de fractais volumétricos são a esponja de Menger, a pirâmide de Sierpinski e outros.

A família do dragão também é conhecida como fractais construtivos. Às vezes, eles são chamados pelo nome dos descobridores de "dragões do Harter Rodoviário" (em sua forma, eles se assemelham a dragões chineses). Existem várias maneiras de plotar essa curva. O mais simples e intuitivo deles é este: você precisa pegar uma tira de papel suficientemente longa (quanto mais fino o papel, melhor) e dobrá-la ao meio. Em seguida, dobre-o duas vezes novamente na mesma direção da primeira vez.

Depois de várias repetições (geralmente depois de cinco ou seis dobras, a tira torna-se muito grossa para ser dobrada com cuidado), você precisa endireitar a tira para trás e tentar formar ângulos de 90º nas dobras. Então, a curva do dragão ficará de perfil. Claro, isso será apenas uma aproximação, como todas as nossas tentativas de representar objetos fractais. O computador permite que você descreva muito mais etapas neste processo, e o resultado é uma figura muito bonita.

O conjunto Mandelbrot é construído de uma maneira ligeiramente diferente. Considere a função fc (z) = z ^ 2 + c, onde c é um número complexo. Vamos construir uma sequência desta função com z0 = 0, dependendo do parâmetro c, ela pode divergir ao infinito ou permanecer limitada. Além disso, todos os valores de c para os quais essa sequência é limitada formam o conjunto de Mandelbrot. Foi estudado em detalhes pelo próprio Mandelbrot e outros matemáticos, que descobriram muitas propriedades interessantes desse conjunto.

Vê-se que as definições dos conjuntos Julia e Mandelbrot são semelhantes entre si. Na verdade, esses dois conjuntos estão intimamente relacionados. A saber, o conjunto de Mandelbrot são todos os valores do parâmetro complexo c para o qual o conjunto Julia fc (z) está conectado (um conjunto é chamado de conectado se não puder ser dividido em duas partes disjuntas, com algumas condições adicionais).

Fractais e vida

Hoje, a teoria dos fractais é amplamente utilizada em vários campos da atividade humana. Além de um objeto de pesquisa puramente científico e da já mencionada pintura fractal, os fractais são usados na teoria da informação para compactar dados gráficos (aqui a propriedade de auto-similaridade dos fractais é usada principalmente - afinal, para lembrar um pequeno fragmento de um desenho e transformações com o qual você pode obter o resto das peças, muito menos é necessária memória do que para armazenar o arquivo inteiro).

Ao adicionar perturbações aleatórias às fórmulas que definem o fractal, pode-se obter fractais estocásticos que transmitem de forma muito plausível alguns objetos reais - elementos de relevo, a superfície de corpos d'água, algumas plantas, que são usados com sucesso em física, geografia e computação gráfica para obter maiores semelhança de objetos simulados com real. Na eletrônica, são produzidas antenas com formato fractal. Ocupando pouco espaço, eles fornecem recepção de sinal de alta qualidade.

Economistas usam fractais para descrever curvas de taxas de câmbio (uma propriedade descoberta por Mandelbrot). Isso conclui esta pequena excursão ao mundo incrivelmente belo e diversificado dos fractais.