Enigmas aritméticos da civilização

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Última modificação: 2023-12-16 16:14

Nas últimas décadas, tem havido um fluxo crescente de estudos que lançam dúvidas sobre a confiabilidade de muitas afirmações da ciência histórica. Por trás de sua fachada bastante decente, há uma escuridão de fantasias, fábulas e simplesmente falsificações descaradas. Isso também se aplica à história da matemática.

Considere de perto e com preconceito as figuras de Pacioli e Arquimedes, Lucas e Leonardo, algarismos romanos e o triângulo egípcio 3-4-5, Ars Metric e Rechenhaftigkeit e muito, muito mais …

Quando as pessoas aprenderam a contar?

Podemos dizer com segurança que isso aconteceu com seus ancestrais distantes, muito antes de se tornarem homo sapiens. A aritmética penetra em todos os aspectos da vida, até mesmo nos animais. Por exemplo, verificou-se que um corvo pode contar até oito. Se um corvo tiver sete filhotes e um for removido, ele começará imediatamente a procurar pelos que estão faltando e a contar seus filhotes. E depois das oito, ela não percebe a perda. Para ela, isso é uma espécie de infinito. Ou seja, toda criatura possui algum tipo de limite numérico.

Também existe entre pessoas que não sabem matemática. Isso se refletiu em várias línguas, em particular no russo.

Apenas seis a sete séculos atrás, as tropas dos conquistadores asiáticos mais formidáveis e vitoriosos estavam claramente divididas em divisões apenas até mil pessoas … Eles eram chefiados por comandantes chamados capatazes, centuriões e milers. As unidades militares maiores eram chamadas de "escuridão" e eram chefiadas por "temniki". Em outras palavras, eles foram denotados por uma palavra que significa "tantos que é impossível contar". Portanto, quando encontramos um grande número no Antigo Testamento ou nas “antigas” crônicas, por exemplo, 600 mil homens que Moisés trouxe do Egito, este é um claro sinal de que o número apareceu, pelos padrões históricos, muito recentemente.

A verdadeira ciência da matemática começou em algum lugar no século 17. Seu fundador foi Francis Bacon, filósofo, historiador, político, empirista inglês (1561-1626). Ele introduziu o que é chamado de conhecimento experiencial. A ciência difere da escolástica porque nela qualquer afirmação, qualquer conhecimento está sujeito a verificação e reprodução. Antes de Bacon, a ciência era especulativa, no nível de algumas construções lógicas, suposições, hipóteses e teorias eram expressas, mas nunca testadas. assim a física e a química como ciências até o século 17 não existiam no sentido moderno … O mesmo Galileo Galilei (1564-1642), o fundador da física experimental, subiu na Torre Inclinada de Pisa e atirou pedras de lá, e só então descobriu que Aristóteles estava errado quando disse que os corpos se movem em linha reta e uniformemente. Descobriu-se que as pedras estão se movendo com aceleração.

Aristóteles argumentou assim não porque fosse preguiçoso para verificar, mas porque mesmo os métodos científicos experimentais mais simples ainda não haviam nascido. Enfatizamos novamente: sem verificação - sem conhecimento confiável.

Um exemplo, não conhecido por todos. O primeiro trabalho sobre física na China foi publicado em 1920. Os chineses explicam isso pelo fato de que durante séculos passaram sem ele, porque foram guiados pelos ensinamentos de Confúcio (556-479 aC). E ele se sentou e contemplou e desenhou tudo, como Aristóteles, do ar. Verificar Confúcio é perda de tempo, acreditam os chineses. Isso é altamente suspeito à luz das afirmações de que eles foram os primeiros a inventar papel, pólvora, bússola e um monte de outras invenções. De onde veio tudo isso se eles não tinham ciência?

Assim, as primeiras tentativas de acreditar quando e como certos resultados científicos, incluindo matemáticos apareceram, mostram que existem muitos mitos na história da ciênciaespecialmente quando se trata de tempo antes da invenção da impressão, o que permitiu consolidar no papel a história de alguns estudos. Uma dessas fábulas, vagando de livro em livro, é o mito do triângulo egípcio, isto é, um triângulo retângulo com lados correspondendo a 3: 4: 5. Todo mundo sabe que isso é um mito, mas é teimosamente repetido por vários autores. Ele fala sobre uma corda com 12 nós. Um triângulo é dobrado a partir dessa corda: três nós na parte inferior, 4 na lateral e cinco nós na hipotenusa.

Por que esse triângulo é tão maravilhoso? O fato de atender aos requisitos do teorema de Pitágoras, ou seja:

3.2 + 4.2 = 5.2

Se for assim, o ângulo na base entre as pernas está correto. Assim, sem ter quaisquer outras ferramentas, nem quadrados nem réguas, você pode representar um ângulo reto com bastante precisão.

O mais incrível é que, em nenhuma fonte, em nenhum estudo há qualquer menção ao Triângulo Egípcio. Foi inventado pelos popularizadores do século 19, que forneceram à história antiga alguns fatos da vida matemática. Enquanto isso, apenas dois manuscritos permaneceram do antigo Egito, no qual existe pelo menos algum tipo de matemática. Este é o Papiro Ahmes, um guia de estudo de aritmética e geometria do período do Império Médio. Também é chamado de papiro Rind pelo nome de seu primeiro proprietário (1858) e papiro meteático de Moscou, ou papiro de V. Golenishchev, um dos fundadores da egiptologia russa.

Outro exemplo - "Navalha de Occam", um princípio metodológico nomeado em homenagem ao monge e filósofo nominalista inglês William Ockham (1285-1349). De forma simplificada, lê-se: "Você não deve multiplicar coisas desnecessariamente." Acredita-se que Occamah lançou as bases para o princípio da ciência moderna: é impossível explicar alguns fenômenos novos pela introdução de novas entidades, se eles podem ser explicados com a ajuda do que já é conhecido … Isso é lógico. Mas Occam não tem nada a ver com esse princípio. Este princípio foi atribuído a ele. No entanto, o mito é muito persistente. É usado em todas as enciclopédias filosóficas.

Outra fábula - sobre a proporção áurea- dividir uma quantidade contínua em duas partes em uma proporção em que a parte menor se relaciona com a maior, como a maior se relaciona com a quantidade total. Essa proporção está presente na estrela de cinco pontas. Se você escrevê-lo em um círculo, ele é chamado de pentagrama. E é considerado um sinal diabólico, um símbolo de Satanás. Ou o sinal de Baphomet. Mas ninguém fala isso o termo "proporção áurea" foi cunhado em 1885pelo matemático alemão Adolph Zeising e foi usado pela primeira vez pelo matemático americano Mark Barr, e não por Leonardo da Vinci, como se costuma dizer em toda parte. Este, como se costuma dizer, é um "clássico do gênero", um exemplo clássico de descrição do passado em conceitos modernos, já que aqui se usa um número algébrico irracional, uma solução positiva para uma equação quadrática - x.2 –x-1 = 0

Não havia números irracionais nem na era de Euclides, nem na era de Da Vinci e Newton

Existia uma proporção áurea antes? Certamente. Mas ela chamada divina, ou seja, proporção divina ou diabólica, de acordo com outros. Todos os feiticeiros da Renascença eram chamados de demônios. Não havia dúvida de qualquer proporção áurea como um termo.

Outro mito é Números de Fibonacci … Estamos falando de uma série de números, em que cada termo é a soma dos dois anteriores. É conhecida como série de Fibonacci, e os próprios números são números de Fibonacci, em homenagem ao nome do matemático medieval que os criou (1170-1250).

Mas acontece que o grande Johannes Kepler, o matemático, astrônomo, óptico e astrólogo alemão, nunca menciona esses números. A impressão completa de que nenhum matemático do século 17 sabe o que é, apesar do fato de que a obra de Fibonacci "O Livro de Abacus" (1202) foi considerada muito popular na Idade Média e no Renascimento e foi a principal para todos os matemáticos daquela época … Qual é o problema?

Existe uma explicação muito simples. No final do século 19, em 1886, o maravilhoso livro de quatro volumes de Edouard Luc, "Entertaining Mathematics" para crianças em idade escolar, foi publicado na França. Nele há muitos exemplos e problemas excelentes, em particular o famoso quebra-cabeça sobre um lobo, uma cabra e um repolho, que deve ser transportado através do rio, mas para que ninguém coma ninguém. Foi inventado por Luca. Ele também inventou os números de Fibonacci. Ele é um dos criadores dos modernos mitos matemáticos que se estabeleceram firmemente em circulação. A criação de mitos de Lucas continuou na Rússia pelo popularizador Yakov Perelman, que publicou uma série de livros sobre matemática, física etc. Na verdade, essas são traduções gratuitas e às vezes literais dos livros de Lucas.

É preciso dizer que não há possibilidade de verificar os cálculos matemáticos dos tempos da antiguidade. algarismos arábicos, (o nome tradicional para um conjunto de dez caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; agora usado na maioria dos países para escrever números em notação decimal), aparecem muito tarde, na virada dos séculos 15-16. Antes disso, existiam os chamados Números romanos que não podem ser usados para calcular nada.

Aqui estão alguns exemplos. Os números foram escritos assim:

888- DCCCLXXXV111, 3999-MMMCMXCIX

Etc.

Com esse registro, nenhum cálculo pode ser feito. Eles nunca foram produzidos. Mas na Roma Antiga, que existia, segundo a história moderna, mil anos e meio, enormes quantias de dinheiro circulavam. Como eles foram contados? Não havia sistema bancário, nem recibos, nem textos relacionados a cálculos matemáticos existem. Nem da Roma Antiga nem do início da Idade Média. E está claro o porquê: não havia como escrever matematicamente.

A título de exemplo, darei como os números foram escritos em Bizâncio. A descoberta, segundo a lenda, pertence a Raphael Bombelli, um matemático e engenheiro hidráulico italiano. Seu nome verdadeiro é Matsolli (1526-1572). Uma vez que ele foi à biblioteca, encontrou um livro de matemática com essas notas e imediatamente o publicou. A propósito, Fermat escreveu seu famoso teorema nas margens, pois não conseguiu encontrar outro artigo. Mas isso é a propósito.

Então, a escrita da equação é assim, (Não há ícones correspondentes no cybord, então eu anotei em um pedaço de papel separado)

Este método de notação matemática não pode ser usado em cálculos.

Na Rússia, o primeiro livro em que houve algum tipo de matemática foi publicado apenas em 1629. Era chamado de "O Livro da Carta de Soshny" e era dedicado a como medir e descrever propriedades de terras urbanas e rurais (incluindo terras e indústrias) para fins de tributação estadual (unidade tributária convencional - aradoOu seja, não apenas para os fiscais, mas também para agrimensores.

E o que acontece? O conceito de ângulo reto ainda não existia … Esse era o nível da ciência.

Outro equívoco. O grande Pitágoras inventou seu teorema. Esta opinião é baseada nas informações do calculador Apolodoro (a pessoa não é identificada) e nas linhas da poesia (a fonte dos versos não é conhecida):

Ele levantou um sacrifício glorioso para ele por touros."

Mas ele não estudou geometria. Ele estudou ciências ocultas. Ele teve uma escola mística, na qual, em particular, o significado oculto estava ligado aos números. Os dois eram considerados mulheres, os três eram homens, o número cinco significava "família". A unidade não foi considerada um número. Defendida pelo matemático holandês Simon Stevin (1548-1620), ele escreveu o livro "A Décima" e nele provou que um é um número, introduzindo o conceito de frações decimais.

Quais foram os números?

Descobrimos Euclides (cerca de 300 aC), seu ensaio sobre os fundamentos da matemática "Princípios". E nós descobrimos que a matemática foi então chamada de "ARS METRIC" - "A Arte da Medição". Lá toda a matemática é reduzida a segmentos de medição, números primos são usados, não há opção de divisão, multiplicação … Não havia fundos para realizá-los. Não há uma única obra dessa época em que houvesse cálculos. Conte no quadro de contagem ábaco.

Mas como foram calculados as pontes, palácios, castelos, torres sineiras? Sem chance. Todas as principais estruturas que conhecemos surgiram após o século XVII.

Como você sabe, São Petersburgo, na Rússia, foi fundada em 1703. Apenas três edifícios sobreviveram desde então. Sob Pedro 1, nenhum edifício de pedra foi erguido, principalmente cabanas de barro e palha. Pedro emitiu um decreto, que falava especificamente sobre as cabanas. Os edifícios de pedra foram construídos, de fato, apenas na era de Catarina II. Por que o povo russo foi para a Europa sob as ordens do czar? Para aprender fortificação, construção, a capacidade de fazer cálculos matemáticos de edifícios e estruturas.

Recentemente, fizemos cálculos para Paris. Todos os edifícios principais foram construídos nos séculos XVIII e XIX. Uma das primeiras edificações de pedra desta cidade é a Capela de Santa - Saint Chanel. Não dá para olhar sem lágrimas: paredes tortas, pedras tortas, sem ângulos retos, uma estrutura de caverna, a mais antiga de Paris do século XIII. Versalhes foi construída no século 18. Então, no local da Champs Elysees, havia um Pântano da Cabra.

Veja o caso da Catedral de Colônia, que começou a ser construída na Idade Média. Foi concluído no século 20! Foi concluído com métodos modernos. A mesma história com o Sacre Coeur, a Basílica do Sagrado Coração. Esta catedral foi supostamente gravemente danificada durante a Grande Revolução Francesa: estátuas, vitrais e outros foram destruídos. Tudo está restaurado mas isso foi feito no século 19 e até mesmo no século 20. Todos os edifícios antigos franceses foram restaurados usando métodos modernos. E não vemos os edifícios que já existiram, mas aqueles que têm a aparência que os restauradores modernos imaginam.

O mesmo se aplica a Fortaleza de Pedro e Paulo Em Petersburgo. É feito de vidro e concreto e parece muito bom. E se você entrar, há quartos que estão preservados desde a época de Pedro 1. Os quartos terrivelmente miseráveis, com paredes de paralelepípedos, fixados com argila e palha, são praticamente informes. E este é o século 18.

A história da Catedral de Intercessão no Kremlin de Moscou, também chamada de Catedral de São Basílio, é bem conhecida. Ele desabou durante a construção, uma vez que não havia cálculos e métodos para esse cálculo. Isso se reflete nas fontes escritas. Portanto, construtores italianos foram convidados e começaram a construir o Kremlin e todos os outros edifícios. E eles construíram um a um no estilo das catedrais e palácios italianos. Os italianos tiveram algo que revolucionou não só na construção, mas em toda a civilização. Eles eram proficientes nos métodos de cálculo matemático.

A aritmética sugere claramente que, sem o conhecimento desses métodos, nada que valha a pena será construído. As pontes são estruturas técnicas complexas, impensáveis sem cálculos preliminares. E até que tais cálculos matemáticos fossem desenvolvidos, não havia pontes de pedra na Europa. Havia pontões de madeira tipo água. 1ª ponte de pedra na Europa - Charles Bridge em Praga. Século XIV ou XV. Ela se desfez mais de uma vez, porque a pedra tem uma data de validade e porque os cálculos foram aprimorados. A primeira e última ponte de pedra em Moscou foi construída em meados do século XIX. Permaneceu por 50 anos e se desfez pelas mesmas razões.

Nascida, a matemática deu origem não apenas à ciência moderna. A invenção dos algarismos arábicos e do sistema de numeração posicional, numeração posicional, quando o valor de cada sinal numérico (dígito) no registro do número depende de sua posição (dígito), tornou possível realizar cálculos que ainda fazemos hoje: adição - subtração, multiplicação - divisão. O sistema foi adotado rapidamente pelos comerciantes, e o resultado foi um aumento repentino no sistema financeiro. E quando somos informados de que esse sistema foi inventado pelos Cavaleiros Templários no século 13, isso não é verdade. Porque não havia maneiras de gerenciá-lo.

Mas a matemática deu origem a muito mais, como sempre acontece com as maiores conquistas da humanidade. Ela transformou o século 16 em uma era sombria e sinistra. O apogeu do obscurantismo, bruxaria, caça às bruxas. Em 1492 - o estabelecimento da Inquisição na Espanha, em 1555 - o estabelecimento da Inquisição em Roma. Enquanto isso, os historiadores estão tentando nos convencer de que a Inquisição é um produto dos séculos 13-15. Nada assim. Por que tudo isso aconteceu? Como isso começou? Com a mania de calcular tudo. Eles até contaram quantos demônios cabem na ponta da agulha. E as bruxas eram determinadas pelo peso: se uma mulher pesasse menos de 48 kg, era considerada bruxa, pois, segundo os inquisidores, ela podia voar. Este é o século XVI. Até apareceu o termo "computação-Reckenhaftigheit."

Como curiosidade, vale destacar que aquele século nos deu outra coisa. Por exemplo, as palavras "Computador, impressora, scanner" … Os computadores eram chamados de aqueles que estavam envolvidos em cálculos, ou seja, calculadoras. A impressora é a pessoa que está ocupada com a impressão de livros, e o scanner é um revisor. Esses significados se perderam e as palavras reviveram em nossa época com novos significados.

Simultaneamente, em 1532, a cronologia científica aparece … E isso é natural: embora não houvesse maneiras de contar, não havia cálculos cronológicos. Ao mesmo tempo, a astrologia começa a se desenvolver, também com base em cálculos.… É necessário mencionar e numerologia … Eles começam a ver magia nos números. Na numerologia, certas propriedades, conceitos e imagens são atribuídos a cada número de um único dígito. A numerologia foi usada na análise da personalidade de uma pessoa para determinar o caráter, dons naturais, pontos fortes e fracos, prever o futuro, escolher o melhor lugar para morar, determinar o momento mais adequado para tomar decisões e para agir. Alguns, com a ajuda dela, escolheram parceiros para si - nos negócios, no casamento. Um dos maiores numerologistas foi Jean Boden (1529-1594), político, filósofo, economista. Aparece e Joseph Just Scaliger (1540-1609), filólogo, historiador, um dos fundadores da cronologia histórica moderna. Junto com o teólogo e monge Dionysius Petavius eles calcularam retroativamente um número de datas históricas na história passada e digitalizaram os fatos e eventos que eram conhecidos por eles.

O exemplo da Rússia mostra como foi difícil e difícil introduzir a aritmetização na consciência da sociedade.

1703 pode ser considerado o ano do início desse processo no país. Então o livro "Aritmética" de Leonty Magnitsky foi publicado. A própria figura do autor é ficcional. Esta é apenas uma tradução de manuais ocidentais. Com base neste livro, Pedro, o Grande, organizou escolas para oficiais da marinha e navegadores.

Uma das cabanas de verão do livro - problema número 33 - ainda é usada hoje em algumas instituições de ensino.

Diz assim: “Eles perguntaram a um certo professor quantos alunos ele tinha, pois queriam dar-lhe seu filho como professor. O professor respondeu: "Se tantos discípulos vierem a mim quantos eu, e metade disso e um quarto, e seu filho, então terei cem discípulos." Quantos alunos ele teve?"

Agora, este problema está resolvido de forma simples: x + x + 1 / 2x + 1 / 4x + 1 = 100.

Magnitsky não escreve nada parecido com isso, porque no século 18 1/2 e ¼ não eram percebidos como números. Ele resolve o problema em quatro etapas, tentando adivinhar a resposta de acordo com a chamada "Regra Falsa".

Toda a matemática na Europa estava neste nível. O livro "Ingenuidade Matemática" de B. Kordemsky diz que o livro matemático de Leonardo de Pisa se espalhou e por mais de dois séculos foi a fonte de conhecimento mais confiável no campo dos números (séculos 13-16). E conta-se a história de como a alta reputação de Fibonacci trouxe o imperador do Império Romano Frederico II a Pisa em 1225 com um grupo de matemáticos que queria testar Leonardo publicamente. Ele recebeu a tarefa: "Encontre o quadrado mais completo que permanece um quadrado completo depois de aumentá-lo ou diminuí-lo em cinco."

A / 2 + 5 = B / 2, A / 2 - 5 = C / 2

Esta é uma tarefa muito difícil, mas Leonardo supostamente a resolveu em poucos segundos.

No século 18, eles não sabiam trabalhar com ½ plus ¼, mas Leponardo e o público trabalham muito bem com eles. Mas frações como números não foram reconhecidas até o final do século XVIII.

Só então Joseph Louis Lagrange o fez. Qual é o problema? Frederico II e toda a história foram inventados pelo mesmo Lucas em seu livro "Entertaining Mathematics".

Euclides é creditado com as descobertas matemáticas feitas muitos séculos depois. Por exemplo, quadratura do triângulo.

Mas, no século 16, o engenheiro e arquiteto húngaro Johann Certe escreveu ao grande Albrecht Durer: “Estou enviando a vocês um teorema sobre um triângulo com três ângulos desiguais. Achei uma solução maravilhosa … Mas fazer um quadrado da mesma área de um triângulo é uma arte. Suponho que você entenda isso muito bem."

Isso significa que, no século 16, Cherte inventou a quadratura de um triângulo, que, ao que parece, foi resolvido por Euclides há muitos séculos, e todos, ao que parece, sabem procurar a área de um triângulo.

Tudo se resume ao que os matemáticos do século 16 fizeram sob nomes antigos. Houve os chamados comentadores Euclides, e agora se diz que o aperfeiçoaram. Na verdade, trabalhavam com o nome de Euclides, com o nome da marca. E este não é o único caso.

No século 18, um certo Pelamed grego foi declarado o inventor de tudo. Ele inventou números, xadrez, damas, dados e muitas outras coisas. Foi apenas no final do século 19 que se acreditou que o xadrez foi inventado na Índia.

Algumas obras que gozaram de autoridade e popularidade na antiguidade e não sobreviveram ou caíram na forma de fragmentos separados atraíram a atenção de falsificadores pelo sobrenome do autor ou pelos temas nelas descritos. Às vezes, tratava-se de toda uma série de falsificações sequenciais de qualquer composição, nem sempre claramente conectadas umas com as outras. Um exemplo são os vários escritos de Cícero, cujas muitas falsificações deram origem a acalorados debates na Inglaterra no final do século 17 e no início do século 18 sobre a própria possibilidade de falsificar as fontes primárias do conhecimento histórico real. Os escritos de Ovídio no início da Idade Média foram usados para incluir as histórias milagrosas que continham nas biografias de santos cristãos. No século 13, toda uma obra foi atribuída ao próprio Ovídio. O humanista alemão Prolucius no século 16 adicionou um sétimo capítulo ao "Calendário" de Ovídio. O objetivo era provar aos adversários que, ao contrário do depoimento do próprio poeta, essa sua obra continha não seis, mas sete capítulos.

A maioria das falsificações em questão era uma espécie de reflexo das peculiaridades não apenas da luta política, mas também da atmosfera predominante do boom da fraude. Pelo menos esse exemplo permite avaliar sua escala. De acordo com os pesquisadores, mais de 12.000 manuscritos, cartas e autógrafos de pessoas famosas foram vendidos na França entre 1822 e 1835, 11.000 foram colocados à venda em leilão em 1836-1840, cerca de 15.000 em 1841-1845 e 32.000 em 1846-1859 Alguns deles foram roubados de bibliotecas e coleções públicas e privadas, mas a maior parte eram falsificações. Um aumento na demanda deu origem a um aumento na oferta, e a produção de falsificações estava à frente do aprimoramento dos métodos de detecção naquela época. Os sucessos das ciências naturais, especialmente da química, que tornaram possível, em particular, determinar a idade do documento em questão, novos, mas ainda imperfeitos métodos de denúncia de fraudes foram usados mais como uma exceção.

Assim que novos métodos aparecem, novos desafios aparecem. Há uma espécie de corrida acontecendo. Como já mencionamos, eles começaram a calcular tudo, até o tamanho do planeta. Colombo considerou a Terra três vezes menor do que realmente é. Um fato incrível. Afinal, acreditava-se que o matemático e astrônomo grego Erastófenes de Cirene (276-194 aC) calculava com precisão o diâmetro do planeta. Por que Colombo não sabia disso? Porque Erastofen fazia parte do projeto do século XVI. Essas foram as pessoas que adotaram os nomes antigos.

Um dos maiores filósofos do século XX, O. Spengler, apresentou a tese de que a matemática grega e a matemática moderna nada têm em comum, que são, em essência, dois matemáticos diferentes, formas diferentes de pensar. É a diferença de pensamento que se revela na virada dos séculos XVI para XVII.

Para compreender o significado das mudanças na ciência, na vida, na consciência humana geradas pela matemática moderna, a caracterização de K. Marx das tecnologias como um fenômeno social geral ajuda: “A tecnologia revela a relação ativa do homem com a natureza - o processo direto de produção de sua vida, e ao mesmo tempo suas condições sociais de vida e as idéias espirituais que fluem delas. " Quase cem anos depois, um dos clássicos da metodologia civilizacional, A. J. Toynbee, define a tecnologia como um "saco de ferramentas".

A matemática se tornou a razão para o aprimoramento sem precedentes dessas "ferramentas" e mudou o curso da civilização.